Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x³+bx²+cx（x∈R），若g（x）=f（x）-f′（x）是奇函數(shù)
（1）求b，c的值；
（2）求g（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)g（x）=f（x）-f'（x）是奇函數(shù)，且f'（x）=3x²+2bx+c能夠求出b與c的值．
（2）對g（x）進行求導，g'（x）＞0時的x的取值區(qū)間為單調(diào)遞增區(qū)間，g'（x）＜0時的x的取值區(qū)間為單調(diào)遞減區(qū)間．

解答：解：（1）∵f（x）=x³+bx²+cx，
∴f'（x）=3x²+2bx+c．
從而g（x）=f（x）-f'（x）=x³+bx²+cx-（3x²+2bx+c）=x³+（b-3）x²+（c-2b）x-c
是一個奇函數(shù)，所以g（0）=0得c=0，
由奇函數(shù)定義得b=3；
（2）由（1）知g（x）=x³-6x，從而g'（x）=3x²-6，
當g'（x）＞0時，x＜-

2

或x＞

2

，
當g'（x）＜0時，-

2

＜x＜

2

，
由此可知，（-∞，-

2

）和（

2

，+∞）是函數(shù)g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；（-

2

，

2

）是函數(shù)g（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；

點評：本題主要考查對導數(shù)的理解．導數(shù)大于0時可求原函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，導數(shù)小于0時可求原函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間