Question

1．已知函數f（x）=2+$\frac{1}{a}-\frac{1}{{{a^2}x}}$（實數a≠0），
（1）若m＜n＜0，請判斷函數f（x）在區間[m，n]上的單調性并證明；
（2）若$\frac{8}{7}$≤m＜n且a＞0時，函數f（x）的定義域和值域都[m，n]，求n-m的最大值．

Answer 1

分析 （1）根據函數單調性的定義進行證明即可；
（2）問題轉化為方程f（x）=x有兩個相異的正實數根m，n，再由一元二次方程根與系數關系和配方法求n-m的最大值．

解答 解：（1）不妨設m≤x₁＜x₂≤n＜0，
則f（x₁）-f（x₂）=$\frac{1}{a^2}$（$\frac{1}{{x}_{2}}$-$\frac{1}{{x}_{1}}$）=$\frac{1}{a^2}$•$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$，
∵m≤x₁＜x₂≤n＜0，∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0，
則f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
因此，f（x）在[m，n]上單調遞增；
（2）f（x）的定義域和值域都是[m，n]，且函數f（x）遞增，
所以，$\left\{\begin{array}{l}{f（m）=m}\\{f（n）=n}\end{array}\right.$，即方程f（x）=x有兩個相異的正實數根m，n，
因此，2+$\frac{1}{a}$-$\frac{1}{a^2x}$=x，整理得，a²x²-（2a+1）ax+1=0，---①
根據一元二次方程根與系數的關系得，
|m-n|=$\frac{\sqrt{（2a+1）^2a^2-4a^2}}{a^2}$=$\sqrt{-3（\frac{1}{a}-\frac{2}{3}）^2+\frac{16}{3}}$，
當a=$\frac{3}{2}$時，|m-n|_max=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
經檢驗，當a=$\frac{3}{2}$時，方程①有兩相異正實根，符合題意，
因此，n-m的最大值為$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題主要考查函數單調性的證明和應用，利用定義法以及根據一元二次方程的性質進行轉化是解決本題的關鍵．