Question

以橢圓x²+a²y²=a²（a＞1）的一個(gè)頂點(diǎn)C（0，1）為直角頂點(diǎn)作此橢圓的內(nèi)接等腰直角三角形ABC，試問(wèn)：
（1）這樣的等腰直角三角形是否存在？若存在，寫(xiě)出一個(gè)等腰直角三角形兩腰所在的直線方程．若不存在，說(shuō)明理由．
（2）這樣的等腰直角三角形若存在，最多有幾個(gè)？

Answer 1

分析：（1）這樣的等腰直角三角形存在．直線y=x+1與直線y=-x+1滿足題意；
（2）設(shè)出CA所在的直線方程，代入橢圓的方程并整理，求出|CA|，同理求出|CB|，由|CA|=|CB|得（k-1）[k²-（a²-1）k+1]=0，討論方程根的情況，即可得出結(jié)論．

解答：解：（1）這樣的等腰直角三角形存在．
因?yàn)橹本�y=x+1與直線y=-x+1垂直，且關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，所以直線y=x+1與直線y=-x+1是一個(gè)等腰直角三角形的兩腰所在的直線方程．
（2）設(shè)A，B兩點(diǎn)分別居于y軸的左，右兩側(cè)，設(shè)CA的斜率為k，則k＞0，
CA所在的直線方程為y=kx+1，代入橢圓的方程并整理得（a²k²+1）x²+2a²kx=0，
∴x=0或x=-

2a2k

a2k2+1

，
∴A的橫坐標(biāo)為-

2a2k

a2k2+1

，
∴|CA|=

2a2k 1+k2

a2k2+1

，
同理可得|CB|=

2a2 1+k2

a2+k2

，
所以由|CA|=|CB|得

k

a2k2+1

=

1

a2+k2

，
∴（k-1）[k²-（a²-1）k+1]=0…（1），
當(dāng)1＜a＜

3

時(shí)，（1）的解是k=1，k²-（a²-1）k+1=0無(wú)實(shí)數(shù)解；
當(dāng)a=

3

時(shí)，（1）的解是k=1，k²-（a²-1）k+1=0的解也是k=1；
當(dāng)a＞

3

時(shí)，（1）的解除k=1外，方程k²-（a²-1）k+1=0有兩個(gè)不相等的正根，且都不等于1，故（1）有3個(gè)正根．
∴符合題意的等腰直角三角形一定存在，最多有3個(gè)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查方程根的討論，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，正確得出（k-1）[k²-（a²-1）k+1]=0是關(guān)鍵．