Question

公差不為零的等差數列{a_n}中，已知其前n項和為S_n，若S₈=S₅+45，且a₄，a₇，a₁₂成等比數列
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項a_n
（Ⅱ）當b_n=

1

Sn

時，求數列{b_n}的前n和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由等差數列的性質和S₈=S₅+45得a₇=15，再由通項公式代入另一個條件列出方程組，求出首項和公差，代入通項公式化簡即可；
（Ⅱ）由（Ⅰ）和等差數列的前n項和公式求出S_n，再代入b_n=

1

Sn

化簡后再裂項，代入數列{b_n}的前n和T_n化簡．

解答：解：（Ⅰ）由S₈=S₅+45得，S₈-S₅=45，
∴a₆+a₇+a₈=45，即3a₇=45，得a₇=15，
又∵a72=a4•a12，設公差為d≠0，
∴

a1+6d=15 (a1+6d)2=(a1+3d)(a1+11d)

解得

a1=3 d=2

，
∴a_n=2n+1，
（Ⅱ）由（Ⅰ）得Sn=

n(3+2n+1)

2

=n(n+2)
∴bn=

1

n(n+2)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)，

Tn=b1+b2+b3+…+bn = 1 2 [( 1 1 - 1 3 )+( 1 2 - 1 4 )+…+( 1 n - 1 n+2 )] = 1 2 ( 1 1 + 1 2 - 1 n+1 - 1 n+2 )

∴Tn=

3

4

-

2n+3

2(n+1)(n+2)

．

點評：本題考查了等差和等比數列的性質，通項公式和前n項和公式的應用，以及裂項相消法求數列的前n項和．