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若曲線f(x)=ax2+lnx存在垂直于y軸的切線,則實數a的取值范圍是   
【答案】分析:先求出函數的定義域,然后求出導函數,根據存在垂直于y軸的切線,得到此時斜率為0,問題轉化為x>0范圍內導函數存在零點,再將之轉化為g(x)=-2ax與存在交點,討論a的正負進行判定即可.
解答:解:由題意該函數的定義域x>0,由
因為存在垂直于y軸的切線,
故此時斜率為0,問題轉化為x>0范圍內導函數存在零點.
再將之轉化為g(x)=-2ax與存在交點.當a=0不符合題意,
當a>0時,如圖1,數形結合可得顯然沒有交點,
當a<0如圖2,此時正好有一個交點,故有a<0應填(-∞,0)
故答案為:{a|a<0}

點評:本題主要考查了利用導數研究曲線上某點切線方程,函數零點等有關基礎知識,考查運算求解能力、推理論證能力,考查數形結合思想、化歸與轉化思想,屬于基礎題.
練習冊系列答案
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科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)=
43
x3+ax-1(a∈R)
,其中f'(x)是f(x)的導函數,若曲線f(x)在點(1,f(1))處的切線與直線2x-y+1=0平行,則a=
 

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科目:高中數學 來源: 題型:

若曲線f(x)=x•sinx+1在x=
π
2
處的切線與直線ax+2y+1=0互相垂直,則實數a等于(  )
A、-2B、-1C、1D、2

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)=
x+ax+1
,g(x)=(1-a)ex
(I)若曲線f(x)在點(1,f(1))處的切線與直線x-3y+1=0平行,求實數a的值;
(II)當0<a<1時,求函數F(x)=f(x)-g(x)在x∈(0,1]上的值域.

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科目:高中數學 來源: 題型:

若曲線f(x)=x•sinx+1在x=
π2
處的切線與直線ax+2y+1=0互相垂直,則實數a等于
2
2

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科目:高中數學 來源: 題型:

(2012•威海一模)已知函數f(x)=
1
2
x2-ax+(a+1)lnx.
(Ⅰ)若曲線f(x)在點(2,f(2))處的切線與直線2x+3y+1=0垂直,求a的值;
(Ⅱ)若f(x)在區(qū)間(0,+∞)單調遞增,求a的取值范圍;
(Ⅲ)若-1<a<3,證明:對任意x1,x2∈(0,+∞),x1≠x2,都有
f(x1)-f(x2)
x1-x2
>1成立.

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