Question

如圖，在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AD=DC=1，AB=3，動點P在以點C為圓心，且與直線BD相切的圓內運動，設

AP

=a

AD

+β

AB

（α，β∈R），則α+β的取值范圍是（　　）

• A、（0，

  4

  3

  ]
• B、[

  4

  3

  ，

  5

  3

  ]
• C、（1，

  4

  3

  ）
• D、（1，

  5

  3

  ）

Answer 1

分析：建立直角坐標系，寫出點的坐標，求出BD的方程，求出圓的方程；設出P的坐標，求出三個向量的坐標，將P的坐標用α，β表示，代入圓內方程求出范圍．

解答：解：以D為坐標原點，CD為x軸，DA為y軸建立平面直角坐標系則
D（0，0），A（0，1），B（-3，1），C（-1，0）
正弦BD的方程為x+3y=0
C到BD的距離為

1

10

∴以點C為圓心，且與直線BD相切的圓方程為(x+1)2+y2=

1

10

設P（x，y）則

AP

=(x，y-1)，

AD

=(0，-1)，

AB

=(-3，0)
∴（x，y-1）=（-3β，-α）
∴x=-3β，y=1-α
∵P在圓內
∴(-3β+1)2+(1-α)2＜

1

10

，
解得1＜α+β＜

5

3

故選D

點評：通過建立直角坐標系將問題代數化、考查直線與圓相切的條件、考查向量的坐標公式．