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當正三角形的邊長為n(n∈N*)時,圖(1)中點的個數為f3(n)=1+2+3+…+(n+1)=(n+1)(n+2);當正方形的邊長為n時,圖(2)中點的個數為f4(n)=(n+1)2;在計算圖(3)中邊長為n的正五邊形中點的個數f5(n)時,觀察圖(4)可得f5(n)=f4(n)+f3(n-1)=(n+1)2+=(n+1)(3n+2);….則邊長為n的正k邊形(k≥3,k∈N)中點的個數fk(n)=   
【答案】分析:先觀察對邊長為n的正五邊形的“分割”,那么對邊長為n的正六邊形分割時就又多了一個點數為f3(n-1)的三角形,
依此類推可以推知邊長為n的正k(k≥5,k∈N)邊形就可以分割為一個點數為f4(n)的四邊形和k-4個點數為f3(n-1)的三角形,結合數列的遞推關系即可得出答案.
解答:解:觀察對邊長為n的正五邊形的“分割”,那么對邊長為n的正六邊形分割時就又多了一個點數為f3(n-1)的三角形,
依此類推可以推知邊長為n的正k(k≥5,k∈N)邊形就可以分割為一個點數為f4(n)的四邊形和k-4個點數為f3(n-1)的三角形,
即fk(n)=f4(n)+(k-4)f3(n-1),并且這個規律對k=3,4也成立,
這樣fk(n)=f4(n)+(k-4)f3(n-1)
=(n+1)2+(k-4)
=(n+1)[(k-2)n+2](k≥3,k∈N).
故答案為:(n+1)[(k-2)n+2].
點評:本題考查數列的遞推關系、類比思想及割補思想的運用,考查類用所學知識分析問題、解決問題的能力.
練習冊系列答案
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1
2
(n+1)(n+2);當正方形的邊長為n時,圖(2)中點的個數為f4(n)=(n+1)2;在計算圖(3)中邊長為n的正五邊形中點的個數f5(n)時,觀察圖(4)可得f5(n)=f4(n)+f3(n-1)=(n+1)2+
n(n+1)
2
=
1
2
(n+1)(3n+2);….則邊長為n的正k邊形(k≥3,k∈N)中點的個數fk(n)=
 

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