Question

已知集合M是同時滿足下列兩個性質的函數f（x）的全體：①f（x）在其定義域上是單調函數；②在f（x）的定義域內存在閉區(qū)間[a，b]，使得f（x）在[a，b]上的最小值是

a

2

，最大值是

b

2

．請解答以下問題：
（1）判斷函數g（x）=-x³是否屬于集合M？并說明理由，若是，請找出滿足②的閉區(qū)間[a，b]；
（2）若函數h(x)=

x-1

+t∈M，求實數t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）函數g（x）的定義域為 R，利用導數求得函數g（x）在R上是減函數，故滿足條件①．若g（x）∈M，當x∈[a，b]時，

g(a)= b 2 g(b)= a 2 a＜b

，解得a、b的值，可得滿足條件②的閉區(qū)間存在，從而g（x）屬于集合M．
（2）利用導數可得函數h（x）在定義域[1，+∞）上是增函數．若h（x）∈M，則存在a，b∈[1，+∞），且a＜b，使得h(a)=

a

2

，h(b)=

b

2

，即a-2

a-1

-2t=0，且b-2

b-1

-2t=0．令

x-1

=y(x≥1)，則y≥0，于是關于y的方程y²-2y+1-2t=0在[0，+∞）上有2個不等實根，利用二次函數的性質求得t的范圍．

解答：解：（1）函數g（x）=-x³的定義域為 R，g′（x）=-3x²≤0 （僅在x=0時取等號），
故函數g（x）在R上是減函數，故滿足條件①．
若g（x）∈M，當x∈[a，b]時，

g(a)= b 2 g(b)= a 2 a＜b

，即

-a3= b 2 -b3= a 2 a＜b

，解得

a=- 2 2 b= 2 2

，故滿足條件②的閉區(qū)間為[-

2

2

，

2

2

]．
由此可得，g（x）屬于集合M．
（2）函數h（x）的定義域是[1，+∞），當x＞1時，h′(x)=

1

2 x-1

＞0，故函數h（x）在[1，+∞）上是增函數，…（10分）
若h（x）∈M，則存在a，b∈[1，+∞），且a＜b，使得h(a)=

a

2

，h(b)=

b

2

，即a-2

a-1

-2t=0，且b-2

b-1

-2t=0，…（12分）
令

x-1

=y(x≥1)，則y≥0，
于是關于y的方程y²-2y+1-2t=0在[0，+∞）上有兩個不等的實根，…（14分）
記u（y）=y²-2y+1-2t，∴

△＞0 u(0)≥0.

，∴t∈(0，

1

2

]．…（16分）

點評：本題主要考查函數的定義域、單調性的應用，求函數的最值，體現了轉化的數學思想，屬于中檔題．