Question

（2013•寧德模擬）若點集M滿足：任意（x，y）∈M，均有（kx，ky）∈M，其中k∈（0，1），則稱該點集M是“k階保守”點集．下列集合：
①{（x，y）丨x²≥y}，②{（x，y）丨2x²+y²＜1}，③{（x，y）x²+y²+x+2y=0}，④{（x，y）丨x³+y³-x²y=0}，其中是“

1

2

階保守”點集的個數是（　�。�

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：①③取特殊點進行排除，②④利用定義進行驗證即可．

解答：解：①由題意，取點（1，1），則（1，1）∈M，但是（

1

2

，

1

2

）∉M，∴點集M不是“

1

2

階保守”點集；
②∵（x，y）∈{（x，y）丨2x²+y²＜1}，∴2x²+y²＜1
∵2×(

1

2

x)2+(

1

2

y)2=

1

4

（2x²+y²）＜

1

4

＜1，∴點集M是“

1

2

階保守”點集；
③由題意，取點（0，-2），則（0，-2）∈M，但是（0，-1）∉M，∴點集M不是“

1

2

階保守”點集；
④∵（x，y）∈{（x，y）丨x³+y³-x²y=0}，∴x³+y³-x²y=0
∴(

1

2

x)3+(

1

2

y)3-(

1

2

x)2•

1

2

y=

1

8

（x³+y³-x²y）=0
∴點集M是“

1

2

階保守”點集
故選B．

點評：本題考查新定義，考查學生的計算能力，正確命題利用定義證明，錯誤命題列舉反例．