Question

【題目】拋物線的圖象關于軸對稱，頂點在坐標原點，點在拋物線上.

(1)求拋物線的標準方程；

(2)設直線的方程為，若直線與拋物線交于兩點，且以為直徑的圓過點，求的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或.

【解析】

（1）由題意可設拋物線的標準方程為：y2＝2px（p＞0），把點P（1，4）代入解得p．可得拋物線C的標準方程．

（2）直線l的方程為：y＝kx+1，代入拋物線方程，設A（x1，y1），B（x2，y2）．由題意可得：0，可得（x1﹣1）（x2﹣1）+（y1﹣2）（y2﹣2）＝0，把根與系數的關系代入即可得出．

（1）由題意可設拋物線的標準方程為：y2＝2px（p＞0），把點P（1，4）代入可得：42＝2p×1，解得2p＝16．

∴拋物線C的標準方程為：y2＝16x．

（2）直線l的方程為：y＝kx+1，代入拋物線方程可得：k2x2+（2k﹣16）x+1＝0，

△＝64﹣16k＞0，解得k＜4．

設A（x1，y1），B（x2，y2），

∴，．

，，

由題意可得：

.

∴17k2﹣46k﹣15＝0，

解得k或k＝3．