Question

2002年8月，在北京召開的國際數(shù)學家大會會標如圖所示，它是由4個相同的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形，若直角三角形中較小的銳角為θ，大正方形的面積是1，小正方形的面積是，則sin²θ-cos²θ的值等于    ．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)題意可知每個直角三角形的長直角邊為cosθ，短直角邊為sinθ，小正方形的邊長為cosθ-sinθ，先利用小正方形的面積求得∴（cosθ-sinθ）²的值，根據(jù)θ為直角三角形中較小的銳角，判斷出cosθ＞sinθ  求得cosθ-sinθ的值，進而求得2cosθsinθ利用配方法求得（cosθ+sinθ）²的進而求得cosθ+sinθ，利用平方差公式把sin²θ-cos²θ展開后，把cosθ+sinθ和cosθ-sinθ的值代入即可求得答案．
解答：解：依題意可知拼圖中的每個直角三角形的長直角邊為cosθ，短直角邊為sinθ，小正方形的邊長為cosθ-sinθ，
∵小正方形的面積是
∴（cosθ-sinθ）²=
又θ為直角三角形中較小的銳角，
∴cosθ＞sinθ       
∴cosθ-sinθ=      
又∵（cosθ-sinθ）²=1-2sinθcosθ=
∴2cosθsinθ=
∴1+2sinθcosθ=
即（cosθ+sinθ）²=
∴cosθ+sinθ=  
∴sin²θ-cos²θ=（cosθ+sinθ）（sinθ-cosθ）=-
故答案為-．
點評：本題主要考查了三角函數(shù)的化簡求值，同角三角函數(shù)的基本關系．考查了學生綜合分析推理和基本的運算能力．