Question

已知函數f（x）=cos²（x+

π

12

），g（x）=1+

1

2

sin2x．
（1）設x=x₀是函數y=f（x）圖象的一條對稱軸，求g（2x₀）的值；
（2）求函數h（x）=f（x）+g（x），x∈[0，

π

4

]的單調遞增區間；
（3）令p（x）=f（x）+g（x）-

3

2

，說明如何變換函數y=sin2x的圖象得到函數 p（x）的圖象？

Answer 1

分析：（1）利用二倍角的余弦可求得f（x）=

1

2

[1+cos（2x+

π

6

）]，x=x₀是函數y=f（x）圖象的一條對稱軸⇒2x₀+

π

6

=kπ⇒g（x₀）=1+

1

2

sin（kπ-

π

6

），對k分k為偶數與k為奇數討論即可求得g（2x₀）的值；
（2）利用三角函數間的恒等變換可求得h（x）=

1

2

sin（2x+

π

3

）+

3

2

，x∈[0，

π

4

]，再利用正弦函數的單調性即可求得函數h（x）在x∈[0，

π

4

]的單調遞增區間；
（3）依題意，p（x）=f（x）+g（x）-

3

2

=

1

2

sin（2x+

π

3

），利用函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換即可求得如何由函數y=sin2x的圖象得到函數 p（x）的圖象．

解答：解：（1）由題設知f（x）=

1

2

[1+cos（2x+

π

6

）]，
∵x=x₀是函數y=f（x）圖象的一條對稱軸，
∴2x₀+

π

6

=kπ，即2x₀=kπ-

π

6

（k∈Z），
∴g（x₀）=1+

1

2

sin2x₀=1+

1

2

sin（kπ-

π

6

），
當k為偶數時，g（x₀）=1+

1

2

sin（-

π

6

）=1-

1

4

=

3

4

；
當k為奇數時，g（x₀）=1+

1

2

sin

π

6

=1+

1

4

=

5

4

．
（2）h（x）=f（x）+g（x）
=

1

2

[1+cos（2x+

π

6

）]+1+

1

2

sin2x
=

1

2

[cos（2x+

π

6

）+sin2x]+

3

2

=

1

2

（

3

2

cos2x+

1

2

sin2x）+

3

2

=

1

2

sin（2x+

π

3

）+

3

2

，x∈[0，

π

4

]．
當2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ-

π

2

，即kπ-

5π

12

≤x≤kπ+

π

12

（k∈Z）時，函數h（x）=

1

2

sin（2x+

π

3

）+

3

2

是增函數，
又x∈[0，

π

4

]，
故函數h（x）在∈[0，

π

4

]的單調遞增區間是[0，

π

12

]．
（3）∵p（x）=f（x）+g（x）-

3

2

=

1

2

sin（2x+

π

3

）+

3

2

-

3

2

=

1

2

sin（2x+

π

3

），
∴要得到p（x）=

1

2

sin（2x+

π

3

）的圖象，
需將y=sin2x的圖象向左平移

π

6

個單位（縱坐標不變），得到y=sin（2x+

π

3

）的圖象，再將y=sin（2x+

π

3

）的圖象的縱坐標縮小為原來的

1

2

（橫坐標不變），即可得到p（x）=

1

2

sin（2x+

π

3

）的圖象．

點評：本題考查二倍角的余弦、三角函數間的恒等變換、正弦函數的對稱性、單調性及函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變的綜合應用，考查分析與運算能力，屬于難題．