Question

設函數f（x）對任意實數x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0時，f（x）＜0，
（1）判斷f（x）的奇偶性； 
（2）判斷f（x）的單調性；
（3）解不等式

1

2

f(bx2)-f(x)＞

1

2

f(b2x)-f(b)，（b²≠2）．

Answer 1

分析：（1）利用定義：令x=y=0，可求得f（0），令y=-x，可得f（x）與f（-x）的關系，由奇偶性的定義即可作出判斷；
（2）任取x₁，x₂，且x₁＜x₂，由x＞0時，f（x）＜0可判斷f（x₂-x₁）的符號，從而可得f（x₂）與f（x₁）的大小關系，由單調性定義即可作出判斷；
（3）利用函數的奇偶性、單調性可把不等式轉化為具體二次不等式，由b²≠2分類討論即可解得；

解答：解：（1）令x=y=0，由f（x+y）=f（x）+f（y），得f（0）=f（0）+f（0），
所以f（0）=0，
令y=-x，則f（0）=f（x）+f（-x），即f（x）+f（-x）=0，
所以f（-x）=-f（x），
故f（x）為奇函數；
（2）任取x₁，x₂，且x₁＜x₂，
則f（x₂-x₁）=f[x₂+（-x₁）]=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂）-f（x₁），
由x＞0時，f（x）＜0，且x₂-x₁＞0，
所以f（x₂-x₁）＜0，即f（x₂）-f（x₁）＜0，
所以f（x₂）＜f（x₁），
故f（x）為減函數；
（3）不等式

1

2

f(bx2)-f(x)＞

1

2

f(b2x)-f(b)可變為

1

2

f（bx²）-

1

2

f（b²x）＞f（x）-f（b）=f（x-b），
⇒f（bx²-b²x）＞f（2x-2b），
由（2）知f（x）單調遞減，
所以bx²-b²x＜2x-2b，即bx²-（b²+2）x+2b＜0，
當b=0時，原不等式解集（0，+∞）；
當b＜-

2

時，原不等式解集{x/x＞

2

b

或x＜b}；
當-

2

＜b＜0時，原不等式解集{x/x＜

2

b

或x＞b}；
當0＜b＜

2

時，原不等式解集{x/b＜x＜

2

b

}；
當b＞

2

時，原不等式解集{x/

2

b

＜x＜b}；

點評：本題考查抽象函數的奇偶性、單調性的判斷，考查抽象不等式的求解，考查分類討論思想，考查學生解決問題的能力．