Question

對(duì)于集合A={x|x=m²-n²，m∈Z，n∈Z}，因?yàn)?6=5²-3²，所以16∈A，研究下列問題：
（1） 1，2，3，4，5，6六個(gè)數(shù)中，哪些屬于A，哪些不屬于A，為什么？
（2） 討論集合B={2，4，6，8，…，2n，…}中有哪些元素屬于A，試給出一個(gè)一般的結(jié)論，不必證明．

Answer 1

（1）∵1=1²-0²；3=2²-1²；5=3²-2²；4=2²-0²；
∴1，3，4，5∈A，且2，6∉A；（5分）
設(shè)2∈A，得存在m，n∈Z，使2=m²-n²成立．（m-n）（m+n）=2
當(dāng)m，n同奇或同偶時(shí)，m-n，m+n均為偶數(shù)
∴（m-n）（m+n）為4的倍數(shù)，與2不是4倍數(shù)矛盾．
當(dāng)m，n同分別為奇，偶數(shù)時(shí)，m-n，m+n均為奇數(shù)
（m-n）（m+n）為奇數(shù)，與2是偶數(shù)矛盾．∴2∉A同理6∉A（8分）
（2）4=2²-0²；8=3²-1²；12=4²-2²；
2，6，10，14，∉A，結(jié)論：是4的倍數(shù)的數(shù)屬于A．（12分）