Question

下列數(shù)表為一組等式，如果能夠猜測S2n-1=(2n-1)(an2+bn+c)，則3a+b=

 

．
       s₁=1，
     s₂=2+3=5，
   s₃=4+5+6=15，
 s₄=7+8+9+10=34，
s₅=11+12+13+14+15=65．

Answer 1

分析：利用等差數(shù)列的通項公式與求和公式，可得S_n=

1

2

（n³+n），再以2n-1代替n，得S_2n-1=4n³-6n²+4n-1，結(jié)合題中等式采用比較系數(shù)法可得a、b、c的值，從而求出3a+b的值．

解答：解：由題中數(shù)陣的排列特征，得S_n共有n連續(xù)正整數(shù)相加，并且最大加數(shù)為

n(n+1)

2

∴S_n=n•

n(n+1)

2

+

n(n-1)

2

×(-1)=

1

2

（n³+n），可得S_2n-1=

1

2

[（2n-1）³+（2n-1）]=4n³-6n²+4n-1
若S2n-1=(2n-1)(an2+bn+c)，則

2a=4 2b-a=-6 2c-b=4 -c=-1

，解之得a=2，b=-2，c=1
∴3a+b=3×2-2=4
故答案為：4

點評：本題以一個三角形數(shù)陣為載體，考查了等差數(shù)列的通項與求和公式、比較系數(shù)法解多項式恒等及簡單的合情推理等知識，屬于中檔題．