Question

設角A，B，C為△ABC的三個內角．
（Ⅰ）若sin²+sin=，求角A的大小；
（Ⅱ）設f（A）=sinA+2sin，求當A為何值時，f（A）取極大值，并求其極大值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據sin²+sin=整理得cos（cos-1）=0進而求得cos，進而求得A．
（Ⅱ）對函數f（A）進行求導，根據結果與0的關系判斷函數的單調性，進而判斷出函數的最大值．
解答：解：（Ⅰ）由已知，sin²+sin=，
即sin²+cos=，
所以（1-）+cos=，
即cos（cos-1）=0．
在△ABC中，因為0＜A＜π，則0＜＜，
所以cos≠0，從而cos=．
從而=，即A=．
（Ⅱ）因為f′（A）=cosA+cos=2cos2+cos=（2cos-1）（cos+1），
因為0＜A＜π，則cos+1＞0．
由f′（A）＞0，得cos＞，
所以0＜＜，即0＜A＜．
所以當A∈（0，）時，f（A）為增函數；
當A∈（，π）時，f（A）為減函數．
故當A=時，f（A）取極大值，
且極大值為f（）=．
點評：本題主要考查了同角三角函數的基本關系，導數，函數的單調性．