Question

已知數列{a_n}是等差數列，且a₁=2，

1

2

an+1-

1

2

an=2(cos2

π

6

-sin2

π

6

)
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）令bn=an•3n+n，求數列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角公式對已知

1

2

an+1-

1

2

an=2(cos2

π

6

-sin2

π

6

)進行化簡，然后利用等差數列的通項公式即可求解
（2）由題意可得，bn=an•3n+n=2n•3ⁿ+n，然后利用分組求和及錯位相減求和方法即可求解

解答：解：（1）∵a₁=2，

1

2

an+1-

1

2

an=2(cos2

π

6

-sin2

π

6

)=2cos

1

3

π=1
∴a_n+1-a_n=2
∴數列{a_n}是以2為首項，以2為公差的等差 數列
∴a_n=2+2（n-1）=2n
（2）∵bn=an•3n+n=2n•3ⁿ+n
∴T_n=2（1•3+2•3²+…+n•3ⁿ）+（1+2+…+n）
∴3T_n=2（      1•3²+2•3³+…+n•3ⁿ⁺¹）+3（1+2+…+n）
兩式相減可得，-2T_n=2（3+3²+3³+…+3ⁿ-n•3ⁿ⁺¹）-2•

n(1+n)

2

=2•

3(1-3n)

1-3

-n(n+1)
=3ⁿ⁺¹-3-n（n+1）
∴T_n=

n(n+1)+3-3n+1

2

點評：本題主要考查了等差數列的通項公式的求解，等差數列、等比數列的求和公式及分組求和、錯位相減求和方法的綜合應用．