Question

【題目】如圖，某市效外景區內一條筆直的公路經過三個景點A、B、C.景區管委會又開發了風景優美的景點D.經測量景點D位于景點A的北偏東30°方向且距A 8 km處，且位于景點B的正北方向，還位于景點C的北偏西75°方向 上，已知AB＝5 km，AD＞BD.

(1)景區管委會準備由景點D向景點B修建一條筆直的公路，不考慮其他因素，求出這條公路的長；

(2)求∠ACD的正弦值．

Answer 1

【答案】(1) 這條公路長為(4－3)km. (2)

【解析】

試題分析: （1）過點作于點，過點作，交的延長線于點，求的問題就可以轉化為求 的度數或三角函數值的問題．

(2)在中，由正弦定理可得 ，在 中 則由 即可得到 的正弦值．

試題解析：( (1)△ABD中，∠ADB＝30°，AD＝8km，AB＝5km，設DB＝x km.

則由余弦定理得52＝82＋x2－2×8×x·cos30°，即x2－8x＋39＝0，解得x＝4±3.

∵4＋3＞8，舍去，∴x＝4－3，

∴這條公路長為(4－3)km.

(2)在△ADB中，＝，

∴sin∠DAB＝＝，

∴cos∠DAB＝.

在△ACD中，∠ADC＝30°＋75°＝105°，

cos105°＝cos(60°＋45°)

＝cos60°cos45°－sin60°sin45°＝，

sin105°＝sin(60°＋45°)＝，

∴sin∠ACD＝sin[180°－(∠DAC＋105°)]

＝sin(∠DAC＋105°)

＝sin∠DAC·cos105°＋cos∠DAC·sin105°

＝×＋×

＝.