Question

已知橢圓的左焦點為F，左、右頂點分別為A、C，上頂點為B．過F、B、C作⊙P，其中圓心P的坐標為（m，n）．
（1）當m+n＞0時，求橢圓離心率的范圍；
（2）直線AB與⊙P能否相切？證明你的結論．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求F、B、C的坐標，求直線FC、BC的中垂線方程，解出P的坐標，m+n＞0，得到a、b、c關系，求出e的范圍．
（2）直線AB與⊙P能相切，則切點為B，求出AB和PB的斜率，如果垂直，斜率之積為-1，判斷即可．
解答：解：（1）設F、B、C的坐標分別為（-c，0），（0，b），（1，0），則FC、BC的中垂線分別為 x=，
y-．聯列方程組，
解出
∴，
即b-bc+b²-c＞0，即（1+b）（b-c）＞0，
∴b＞c．
從而b²＞c²即有a²＞2c²，
∴．又 e＞0，
∴．
（2）直線AB與⊙P不能相切．由k_AB=b，．
如果直線AB與⊙P相切，則  b•=-1．
解出c=0或2，與0＜c＜1矛盾，
所以直線AB與⊙P不能相切．
點評：本題考查橢圓的性質，直線與圓的位置關系等知識，難度較大，容易出錯．