Question

【題目】點(diǎn)是直線上的動點(diǎn)，過點(diǎn)的直線、與拋物線相切，切點(diǎn)分別是、.

（1）證明：直線過定點(diǎn)；

（2）以為直徑的圓過點(diǎn)，求點(diǎn)的坐標(biāo)及圓的方程.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析.

【解析】

（1）設(shè)點(diǎn)、、，利用導(dǎo)數(shù)求出切線、的方程，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線、的方程，可得出直線的方程，進(jìn)而可得出直線所過的定點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）設(shè)直線的方程為，將該直線方程與拋物線的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，由題意得出，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，代入韋達(dá)定理可求得，進(jìn)而可得出點(diǎn)的坐標(biāo)以及圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

（1）設(shè)點(diǎn)、、，

對函數(shù)求導(dǎo)得，所以，直線的方程為，即，

同理可得直線的方程為，

將點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線、的方程得，

所以，點(diǎn)、的坐標(biāo)滿足方程，

由于兩點(diǎn)確定一條直線，所以，直線的方程為，該直線過定點(diǎn)；

（2）設(shè)直線的方程為，

將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立得，則，

由韋達(dá)定理得，，

因為在為直徑的圓上，所以，

，同理，

，即，解得或.

當(dāng)時，，直線的方程為，圓心為，半徑，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；

當(dāng)時，，直線的方程為，圓心為，半徑，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

綜上所述，當(dāng)時，，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；

當(dāng)時，，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.