Question

已知函數f（x）=x²+ln x-1．
（1）求函數f（x）在區間[1，e]（e為自然對數的底）上的最大值和最小值；
（2）求證：在區間（1，+∞）上，函數f（x）的圖象在函數g（x）=x³的圖象的下方；
（3）求證：[f′（x）]ⁿ-f′（xⁿ）≥2ⁿ-2 （n∈N^*）．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出f′（x），在區間[1，e]上大于零得出函數為增函數，算出1和e的函數值即可得到函數的最值；
（2）設F（x）=f（x）-g（x）=x²+lnx-1-x³，求出其導函數討論當x＞1時函數的增減性從而得到f（x）＜g（x）得證；
（3）當n=1時顯然成立，當n≥2時，利用基本不等式得證即可．
解答：解：（1）∵f′（x）=x+，
當x∈[1，e]時，f′（x）＞0，
∴函數f（x）在[1，e]上為增函數、
∴f（x）_max=f（e）=e²，f（x）_min=f（1）=-、
（2）證明：令F（x）=f（x）-g（x）=x²+lnx-1-x³，
則F′（x）=x+-2x²==
∵當x＞1，時F′（x）＜0，
∴函數F（x）在區間（1，+∞）上為減函數，
∴F（x）＜F（1）=-1-＜0，
即在（1，+∞）上，f（x）＜g（x）、
∴在區間（1，+∞）上，函數f（x）的圖象在函數g（x）=x³的圖象的下方、
（3）證明：∵f′（x）=x+，當n=1時，不等式顯然成立
當n≥2時，利用基本不等式得：
[f′（x）]ⁿ-f′（xⁿ）=（x+）ⁿ-（）≥2ⁿ-2（當且僅當x=1時“=”成立）
∴當n≥2時，不等式成立、
綜上所述得[f′（x）]ⁿ-f′（xⁿ）≥2ⁿ-2，（n∈N^*）
點評：考查學生利用導數求閉區間上函數的最值的能力，以及進行不等式的證明的能力．