Question

請選做一題，都做時按先做的題判分，都做不加分．
（1）已知向量，，函數．
①求函數f（x）的最小正周期和值域；
②在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別是a、b、c，若且a²=bc，試判斷△ABC的形狀．
（2）已知銳角．
①求證：tanA=2tanB；
②設AB=3，求AB邊上的高CD的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）①用向量的數量積將函數f（x）的解析式表示出來后化簡成y=Asin（ωx+θ）可得答案．
②將代入函數f（x）可求出A的值，再由余弦定理可得到b=c，從而得到答案．
（2）①根據兩角和與差的正弦公式展開，可得sinAcosB=2cosAsinB，進而得到答案．
②根據正切函數的兩角和公式，得出tanA與tanB的關系，再通過①中tanA=2tanB求出tanA和tanB的值．再通過AB=AD+BD=+進而求出CD的值．
解答：解：（1）①f（x）=
=2sinxcosx+cos²x-sin²x=sin2x+cos2x=2sin（2x+）
T=，值域為[-2，2]．
②∵f（）=2sin（A+）=2∴A=
∵a²=bc
∴cosA==∴b=c
∴△ABC為等邊三角形．
（2）①由展開可整理得：

∴sinAcosB=2cosAsinB
∴tanA=2tanB
②∵，
∵，即，
又∵tanA=2tanB，∴2tan2B-4tan2B-1=0．
∴或（舍），
∴，
∴，
∴．
點評：本題主要考查了三角函數中的兩角和公式的運用．此類題常綜合三角函數性質、誘導公式、向量等問題．