Question

在空間中，給出下面四個命題：
（1）過一點有且只有一個平面與已知直線垂直；
（2）若平面外兩點到平面的距離相等，則過兩點的直線必平行于該平面；
（3）兩條相交直線在同一平面的射影必為相交直線；
（4）兩個相互垂直的平面，一個平面內的任意一直線必垂直于另一平面內的無數條直線．
其中正確的命題的序號是

（1）（4）

．

Answer 1

分析：根據空間直線與平面的關系逐一判斷，（1）用反證法證明．對于（2），可舉不成立的例子，即兩點分布在平面兩側，也有可能到平面的距離相等．對于（3）若兩條相交直線所在平面與第一個平面垂直，則兩條相交直線在平面的射影必為同一條直線．對于（4）利用平面垂直的定義判斷．

解答：解：假設過一點有至少兩個平面α，β與已知直線垂直，則α∥β，這與假設矛盾，故假設不成立，（1）正確
若這兩點分布在平面兩側，則過兩點的直線與該平面相交，故（2）錯誤
若平面α⊥平面β，則平面α內的相交直線在平面β的射影不是相交直線，故（3）錯誤
若平面α⊥平面β，交線為l，平面β內垂直于l的直線有無數條，這些直線都垂直于平面α，即在平面α內的任意一直線必垂直于平面β內的無數條直線，故（4）正確
故答案為 （1）（4）

點評：本題主要考查了空間直線與平面位置關系的判斷，屬于概念考查題，做題時必須細心．