Question

在直角坐標系中，O為坐標原點，直線l經過點P（3，）及雙曲線的右焦點F．
（1）求直線l的方程；
（2）如果一個橢圓經過點P，且以點F為它的一個焦點，求橢圓的標準方程；
（3）若在（1）、（2）情形下，設直線l與橢圓的另一個交點為Q，且=λ，當||最小時，求λ的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）確定雙曲線的右焦點坐標，利用兩點式，可求方程；
（2）設出橢圓的標準方程，利用焦點坐標及點P在橢圓上，求出幾何量，即可得到橢圓的標準方程；
（3）直線方程，代入橢圓方程，求出Q的坐標，進而可的坐標，求模長，利用配方法求最值，即可得到結論．
解答：解：（1）由題意雙曲線的右焦點為F（2，0）
∵直線l經過點P（3，），F（2，0）
∴根據兩點式，得所求直線l的方程為
即y=（x-2）．
∴直線l的方程是y=（x-2）．
（2）設所求橢圓的標準方程為
∵一個焦點為F（2，0）
∴c=2，即a²-b²=4  ①
∵點P（3，）在橢圓上，
∴ ②
由①②解得a²=12，b²=8
所以所求橢圓的標準方程為；
（3）由題意，直線方程代入橢圓方程可得x²-3x=0
∴x=3或x=0
∴y=或y=-2
∴Q（0，-2）      
∴
∴=λ=，
∴=
∴
∴當λ=時，最小．
點評：本題考查直線與橢圓的方程，考查向量知識，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．