Question

設(shè)拋物線頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸負(fù)半軸上，M為拋物線上任一點(diǎn)，若點(diǎn)M到直線l：3x+4y-14=0的距離的最小值為1，求此拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．

Answer 1

分析：設(shè)出拋物線方程與直線3x+4y+m=0聯(lián)立，利用判別式為0，求出相切時(shí)m的值，利用點(diǎn)M到直線l：3x+4y-14=0的距離的最小值為1，建立方程，即可求得結(jié)論．

解答：解：設(shè)拋物線的方程為x²=-2py，則由

x2=-2py 3x+4y+m=0

，∴2x²-3px-pm=0
∴△=9p²+8pm=0，∴m=-

9

8

p
∵點(diǎn)M到直線l：3x+4y-14=0的距離的最小值為1，
∴d=

|14- 9 8 p|

5

=1
∴p=8或p=

152

9

（舍去），
∴拋物線方程為：x²=-16y

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．