Question

設函數f(x)=

1

3

ax3-ax+a，g(x)=bx2-lnx，(a＞0，b∈R)，已知它們在x=1處的切線互相平行．
（1）求b的值；
（2）當x＞0時，求證：x²-2lnx≥1；
（3）若函數F(x)=

f(x)，(x≤0) g(x)，(x＞0)

，且方程F（x）=a²有且僅有四個解，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據導數的幾何意義可得f^′（1）=g^′（1）即可求出b的值．
（2）由（1）可得g^′（x）=

(x-1)(x+1)

x

從而可得出x∈（0，1）時g^′（x）＜0，x∈（1，+∞）時g^′（x）＞0所以g（x）≥g（1）再整理即可．
（3）利用導數判斷函數F（x）的單調性和極值然后作出函數F（x）的簡圖然后根據函數y=a²與函數F（x）的圖象有兩個交點即可求出a的范圍．

解答：解：（1）f^′（x）=a（x²-1），g^′（x）=2bx-

1

x

∵它們在x=1處的切線互相平行
∴f^′（1）=g^′（1）
∴2b-1=0
∴b=

1

2

（2）由（1）可得：g^′（x）=

(x-1)(x+1)

x

當x∈（0，1）時g^′（x）＜0，當x∈（1，+∞）時g^′（x）＞0
則：gmin(x)=g極小值(x)=g(1)=

1

2

∴g（x）=

1

2

x2- lnx≥

1

2

∴x²-2lnx≥1
（3）當x＞0時，F（x）=）=

1

2

x2- lnx，由（2）得：
當x=1時F_極小值（x）=F（1）=

1

2

當x≤0時F（x）=

1

3

ax3-ax+a則F^′（x）=a（x-1）（x+1）
∴當x∈（-∞，-1）時F^′（x）＞0，當x∈（-1，0）時F^′（x）＜0
故當x=-1時F_極大值（x）=F（-1）=

5a

3

又方程F（x）=a²有且僅有四個解
則：

1

2

＜a²＜

5a

3

又a＞0
∴a∈（

2

2

，

5

3

)

點評：本題主要考查了導數的幾何意義以及利用導數判斷函數F（x）的單調性和極值，屬常考題，較難．解題的關鍵是透徹理解導數的幾何意義即為在這點切線的斜率，同時能根據導數得出函數的單調區間及單調性進而作出函數簡圖為數形結合解題作鋪墊！