Question

已知橢圓+=1（a＞b＞0）上的點到右焦點F的最小距離是-1，F到上頂點的距離為，點C（m，0）是線段OF上的一個動點．
（1）求橢圓的方程；
（2）是否存在過點F且與x軸不垂直的直線l與橢圓交于A、B兩點，使得（+）⊥，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意可知a-c=-1且，解得a=，b=c=1，由此可求出橢圓的方程．
（2）假設存在滿足題意的直線l，設l的方程為y=k（x-1），代入，得（2k²+1）x²-4k²x+2k²-2=0，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），再由根與系數的關系結合題設條件能夠導出不存在這樣的直線l．
解答：解：（1）由題意可知a-c=-1且，
解得a=，b=c=1，
∴橢圓的方程為；
（2）由（1）得F（1，0），所以0≤m≤1．
假設存在滿足題意的直線l，設l的方程為
y=k（x-1），代入，
得（2k²+1）x²-4k²x+2k²-2=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則，①
∴，
∴，
∵而AB的方向向量為（1，k），
∴
∴當0≤m＜時，k=±，即存在這樣的直線l；
當≤m≤1時，k不存在，即不存在這樣的直線l．
點評：本題考查直線和圓錐曲線的綜合知識，解題時要認真審題，仔細解答．