Question

已知函數在x=1處取得極值2．
（I） 求函數f（x）的表達式；
（II）若f（x）的定義域、值域均為[m，n]，（0≤m＜n）試求所有滿足條件的區間[m，n]；
（Ⅲ）若直線l與的圖象切于點P（x，y），求直線l的斜率k的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）先求導函數，利用函數在x=1處取得極值2，可得，從而得解．
（II）由（I）知，f（x）在[0，1]上為增函數，在[1，+∞]上為減函數，分類討論：0≤m＜n≤1；1≤m＜n；0≤m＜1＜n，從而可求滿足條件的區間．
（Ⅲ）求導函數，由條件知，過f（x）的圖形上一點P的切線l的斜率k為：=，進而尅去直線l的斜率k的取值范圍．
解答：解：（I）因…（2分）
而函數在x=1處取得極值2
所以 ⇒⇒
所以 為所求                             …（4分）
（II）由（I）知，f（x）在[0，1]上為增函數，在[1，+∞]上為減函數，
（1）若0≤m＜n≤1，則，無解．…（8分）
（2）若1≤m＜n，則，無解．…（10分）
（3）若0≤m＜1＜n，則n=2，而，所以，解得m=0．
綜合知，滿足條件的區間為[0，2]．…（12分）
（Ⅲ）
由條件知，過f（x）的圖形上一點P的切線l的斜率k為：=…（15分）
令，則t∈（0，1]
此時，
根據二次函數的圖象性質知：
當時，k，
當t=1時，k_max=4．
所以，直線l的斜率k的取值范圍是．         …（18分）
點評：本題以函數為載體，考查導數的運用，考查函數的極值，考查函數的單調性，同時考查了導數的幾何意義．