Question

已知△ABC的內角A，B，C的對邊a，b，c成等比數列，則

sinB

sinA

的取值范圍為

（

5 -1

2

，

5 +1

2

）

．

Answer 1

分析：把要求的式子整理，首先切化弦，通分，逆用兩角和的正弦公式，根據三角形內角和之間的關系，最后角化邊，得到要求的范圍既是公比的范圍，用公比表示出三條邊，根據兩邊之和大于第三邊，得到不等式組，得到結果．

解答：解：設三邊的公比是q，三邊為a，aq，aq²，
利用正弦定理化簡得：

sinB

sinA

=

b

a

=q，
∵aq+aq²＞a，①
a+aq＞aq²，②
a+aq²＞aq，③
解三個不等式可得q＞

5 -1

2

，0＜q＜

5 +1

2

，
綜上有：

5 -1

2

＜q＜

5 +1

2

，
則

sinB

sinA

的取值范圍為（

5 -1

2

，

5 +1

2

）
故答案為：（

5 -1

2

，

5 +1

2

）

點評：此題考查了正弦定理，等比數列的性質，屬于綜合題目，包括三角函數的恒等變化，三角形內角之間的關系，一元二次不等式的解法，等比數列的應用，變量的范圍的求解，化歸思想的應用．