Question

3．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且橢圓C上的點到橢圓右焦點F的最小距離為$\sqrt{2}$-1．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過點F且不與坐標軸平行的直線l與橢圓C交于A，B兩點，線段AB的中點為M，O為坐標原點，直線OA，OM，OB的斜率為k_OA，k_OM，k_OB，若k_OA，-k_OM，k_OB成等差數列，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）由題意列關于a，b，c的方程組，求解方程組可得a，b的值，則橢圓C的方程可求；
（2）由（1）知，F（1，0），設AB：y=k（x-1）（k≠0）．聯立直線方程與橢圓方程，由一元二次方程的根與系數的關系結合k_OA，-k_OM，k_OB成等差數列求得直線的斜率，則直線方程可求．

解答 解：（1）由題意可知，$\left\{\begin{array}{l}{e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{a-c=\sqrt{2}-1}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得：a²=2，b²=1．
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（2）由（1）知，F（1，0），設AB：y=k（x-1）（k≠0）．
聯立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₀，y₀）．
則${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{2{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$．
∵k_OA，-k_OM，k_OB成等差數列，
∴k_OA+k_OB+2k_OM=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}+\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}+2\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}=\frac{{y}_{1}{x}_{2}+{y}_{2}{x}_{1}}{{x}_{1}{x}_{2}}+\frac{2（{y}_{1}+{y}_{2}）}{{x}_{1}+{x}_{2}}$
=$\frac{k（{x}_{1}-1）{x}_{2}+k（{x}_{2}-1）{x}_{1}}{{x}_{1}{x}_{2}}+\frac{2k（{x}_{1}+{x}_{2}）-4k}{{x}_{1}+{x}_{2}}$=$\frac{2k{x}_{1}{x}_{2}-k（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{x}_{1}{x}_{2}}+\frac{2k（{x}_{1}+{x}_{2}）-4k}{{x}_{1}+{x}_{2}}$
=4k$-\frac{k（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{x}_{1}{x}_{2}}-\frac{4k}{{x}_{1}+{x}_{2}}$=$4k-\frac{k•\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}}{\frac{2{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}}-\frac{4k}{\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}}$=$\frac{1-3{k}^{2}}{k（{k}^{2}-1）}=0$．
即k=$±\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴直線l的方程為y=$±\frac{\sqrt{3}}{3}（x-1）$．

點評 本題考查了橢圓的簡單性質，考查了直線與圓錐曲線的關系，訓練了等差數列性質的應用，考查計算能力，是中檔題．