Question

已知直線L過點P（2，0），斜率為

4

3

，直線L和拋物線y2=2x相交于A，B兩點，設線段AB的中點為M，求：
（1）P，M兩點間的距離/PM/：（2）M點的坐標；（3）線段AB的長．

Answer 1

分析：由題意可得直線l得方程為y=

4

3

(x-2)，聯立方程

y= 4 3 (x-2) y2=2x

可得，8x²-41x+32=0
（1）結合方程的根與系數的關系及中點坐標公式可求M，然后由兩點間的距離公式可求PM
（2）由（1）可得M點的坐標 
（3）利用公式AB=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

(1+ 16 9 )[(x1+x2)2-4x1x2]

可求AB

解答：解：由題意可得直線l得方程為y=

4

3

(x-2)
聯立方程

y= 4 3 (x-2) y2=2x

8x²-41x+32=0
設A（x₁，y₁）B（x₂，y₂） M（x₀，y₀），則 x1+x2=

41

8

，x1x2=4，y1+y2=

4

3

(x1+x2-4)=

3

2

（1）x0=

x1+x2

2

=

41

16

，y0=

y1+y2

2

=

3

4

P，M兩點間的距離PM=

(2- 41 16 )2+(0- 3 4 )2

=

15

16

（2）由（1）可得M點的坐標 (

41

16

，

3

4

)
（3）AB=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

(1+ 16 9 )[(x1+x2)2-4x1x2]

=

25 9 ( 412 64 -16

)=

5

8

73

點評：本題主要考查了直線與拋物線的相交關系的應用，方程思想及方程的根與系數的關系的應用是解決本題的關鍵，還要注意兩點間的距離公式及弦長公式的應用．