Question

已知函數f（x）=x³-ax²+4（a∈R）．
（I）若x=是f（x）的一個極值點，求實數a的值及f（x）在區間（-1，a）上的極大值；
（II）若在區間[1，2]內至少存在一個實數x，使得f（x）＜0成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）由已知有f′（x）=3x²-2ax，
∵x=是f（x）的一個極值點
∴=0，解得a=4． …（2分）
于是f′（x）=3x²-8x=x（3x-8），令f′（x）=0，得x=0或x=．

x	（-1，0）	0	（0，）		（，4）
f′（x）	+	0	-	0	+
f （x）	↗	極大值	↘	極小值	↗

于是當x=0時，f（x）在（-1，4）上有極大值f（0）=4．…（7分）
（Ⅱ）要使f（x）在區間[1，2]內至少有一個實數x，使得f（x）＜0，只需f（x）在[1，2]內的最小值小于0．
∵f′（x）=3x²-2ax=x（3x-2a），且由f′（x）=0，知x₁=0，，
①當≤0即a≤0時，f′（x）＞0，∴f（x）在[1，2]上是增函數，
由f（x）_min=f（1）=3-2a＜0，解得．這與a＜0矛盾，舍去．
②當≤1即0＜a≤時，f′（x）＞0，∴f（x）在[1，2]上是增函數．
由f（x）_min=f（1）=3-2a＜0，解得．這與0＜a≤矛盾，舍去．
③當1＜＜2即時，
當1≤時，f′（x）＜0，∴f（x）在上是減函數，
當≤x＜2時，f′（x）＞0，∴f（x）在上是增函數．
∴，解得a＞3．這與＜a＜3矛盾，舍去．
④≥2即a≥3時，f′（x）＜0，f（x）在[1，2]上是減函數，
∴f（x）_min=f（2）=12-4a＜0，解得a＞3．結合a≥3得a＞3．
綜上，a＞3時滿足題意．…（12分）
分析：（Ⅰ）求導函數f′（x）=3x²-2ax，根據x=是f（x）的一個極值點可得=0，從而可求a的值，確定函數的單調性，進而可求f（x）在（-1，4）上的極大值；
（Ⅱ）要使f（x）在區間[1，2]內至少有一個實數x，使得f（x）＜0，只需f（x）在[1，2]內的最小值小于0．利用f′（x）=3x²-2ax=x（3x-2a），且由f′（x）=0，知x₁=0，，故進行分類討論：①當≤0即a≤0；②當≤1即0＜a≤；③當1＜＜2即；④≥2即a≥3，求出相應的最小值，從而可求實數a的取值范圍．
點評：本題以函數為載體，考查導數的運用，考查函數的極值，考查學生分析解決問題的能力，解題的關鍵是將f（x）在區間[1，2]內至少有一個實數x，使得f（x）＜0，轉化為f（x）在[1，2]內的最小值小于0