Question

已知函數f（x）=ax³+bx²-c（其中a，b，c均為常數，x∈R）．當x=1時，函數f（x）的極植為-3-c．
（1）試確定a，b的值；
（2）求f（x）的單調區間；
（3）若對于任意x＞0，不等式f（x）≥-2c²恒成立，求c的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求出f'（x），因為當x=1時，函數f（x）的極植為-3-c．得到f（1）=-3-c，f′（1）=0代入得f（x）的解析式即可；（2）令f′（x）=0求出函數的駐點，利用駐點討論函數的增減性得到函數的單調區間即可；
（3）要使不等式f（x）≥-2c²恒成立即-6x³-9x²-c≥-2c²對任意x＞0恒成立，則函數的最小值大于等于-2c²得到關于c的不等式即可求出c的取值范圍．

解答：解：（1）由f（x）=ax³+bx²-c，得f'（x）=3ax²+2bx，
當x=1時，f（x）的極值為-3-c，
∴

f′(1)=0 f(1)=-3-c

，得

3a+2b=0 a+b-c=-3-c

，∴

a=6 b=-9

，
∴f（x）=6x³-9x²-c．
（2）∵f（x）=6x³-9x²-c，∴f′（x）=18x²-18x=18x（x-1），
令f′（x）=0，得x=0或x=1．
當x＜0或x＞1時，f′（x）＞0，f（x）單調遞增；當0＜x＜1時，f′（x）＜0，f（x）單調遞減；
∴函數f（x）的單調遞增區間是（-∞，0）和（1，+∞），單調遞減區間是[0，1]．
（3）∵f（x）≥-2c²對任意x＞0恒成立，∴-6x³-9x²-c≥-2c²對任意x＞0恒成立，
∵當x=1時，f（x）_min=-3-c，∴-3-c≥-2c²，得2c²-c-3≥0，
∴c≤-1或c≥

3

2

．
∴c的取值范圍是(-∞，-1]∪[

3

2

，+∞)．

點評：考查學生利用導數研究函數極值及單調性的能力，利用導數求閉區間上極值的能力，以及理解掌握不等式恒成立的條件的能力．