Question

已知函數f（x）=x³+ax²+bx+a²+1，在x=1處有極值為11，則f（-1）=（　�。�

• A、3
• B、7或21
• C、31
• D、3或31

Answer 1

分析：根據函數在x=1處有極值時說明函數在x=1處的導數為0，又因為f^′（x）=3x²+2ax+b，所以得到：f^′（1）=3+2a+b=0
又因為f（1）=11，所以可求出a與b的值確定解析式，最終將-1代入求出答案．

解答：解：∵f^′（x）=3x²+2ax+b，
又∵函數f（x）=x³+ax²+bx+a²+1，在x=1處有極值為11
∴f^′（1）=3+2a+b=0，f（1）=1+a+b+a²+1=11
解得：

a=-3 b=3

，或

a=4 b=-11

，
∴f（x）=x³-3x²+3x+10或f（x）=x³+4x²-11x+17
∴f（-1）=3或31．
故選D．

點評：本題主要考查導數為0時取到函數的極值的問題，這里多注意聯立方程組求未知數的思想．