Question

關于函數y=sin|2x|+|sin2x|下列說法正確的是（　�。�

• A、是周期函數，周期為π
• B、關于直線x=

  π

  4

  對稱
• C、在[-

  π

  3

  ，

  7π

  6

  ]上最大值為

  3

• D、在[-

  π

  2

  ，-

  π

  4

  ]上是單調遞增的

Answer 1

分析：令y=f（x）=sin|2x|+|sin2x|，
A：利用y=sin2|x|不是周期函數，可判斷A的正誤；
B：利用f（-

π

4

）≠f（

3π

4

）可判斷B的正誤；
C：利用f（

π

4

）=2＞

3

可判斷C的正誤；
D：當x∈[-

π

2

，-

π

4

]時，f（x）=-sin2x-sin2x=-2sin2x，利用正弦函數的單調性即可判斷D之正誤．

解答：解：令y=f（x）=sin|2x|+|sin2x|，
A：∵y=sin2|x|不是周期函數，
∴函數y=sin|2x|+|sin2x|不是周期函數，故A錯誤；
B：∵-

π

4

+

3π

4

=

π

2

，即點（-

π

4

，0）與點（

3π

4

，0）關于直線x=

π

4

對稱，
又f（-

π

4

）=1+1=2，f（

3π

4

）=-1+1=0，f（-

π

4

）≠f（

3π

4

），
∴y=sin|2x|+|sin2x|的圖象不關于直線x=

π

4

對稱，故B錯誤；
C：∵

π

4

∈[-

π

3

，

7π

6

]，且f（

π

4

）=1+1=2＞

3

，故C錯誤；
D：當x∈[-

π

2

，-

π

4

]時，f（x）=-sin2x-sin2x=-2sin2x，
由2kπ+

π

2

≤2x≤2kπ+

3π

2

（k∈Z）得：kπ+

π

4

≤x≤kπ+

3π

4

（k∈Z），
∴f（x）=-2sin2x的單調遞增區間為：[kπ+

π

4

，kπ+

3π

4

]（k∈Z），
當k=-1時，-

3π

4

≤x≤-

π

4

，
∴f（x）=sin|2x|+|sin2x|=-2sin2x在區間[-

3π

4

，-

π

4

]上單調遞增，而[-

π

2

，-

π

4

]?[-

3π

4

，-

π

4

]，
∴f（x）=sin|2x|+|sin2x|在區間[-

π

2

，-

π

4

]上單調遞增，故D正確．
故選：D．

點評：本題考查正弦函數的對稱性、周期性、單調性及最值，考查綜合分析與應用能力，屬于難題．