Question

已知集合A={x∈R|ax²-3x-4=0}，
（1）若A中有兩個元素，求實數a的取值范圍；
（2）若A中至多有一個元素，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由A中有兩個元素，知關于x的方程ax²-3x-4=0有兩個不等的實數根，由此能求出實數a的取值范圍．
（2）當a=0時，方程為-3x-4=0，所以集合A={-

4

3

}；當a≠0時，若關于x的方程ax²-3x-4=0有兩個相等的實數根，則A也只有一個元素，此時a=-

9

16

；若關于x的方程ax²-3x-4=0沒有實數根，則A沒有元素，此時a＜-

9

16

．由此能求出實數a的取值范圍．

解答：解：（1）∵A中有兩個元素，
∴關于x的方程ax²-3x-4=0有兩個不等的實數根，
∴△=9+16a＞0，且a≠0，即所求的范圍是{a|a＞-

9

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，且a≠0}；（6分）
（2）當a=0時，方程為-3x-4=0，
∴集合A={-

4

3

}；
當a≠0時，若關于x的方程ax²-3x-4=0有兩個相等的實數根，則A也只有一個元素，此時a=-

9

16

；
若關于x的方程ax²-3x-4=0沒有實數根，則A沒有元素，此時a＜-

9

16

，
綜合知此時所求的范圍是{a|a≤-

9

16

，或a=0}．（12分）

點評：本題考查實數a的取值范圍的求法．解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化，注意分類討論思想的合理運用．