Question

已知曲線

y=2t-3 5 x=t-2 5

（t為參數），曲線

y=sinθ x=cosθ

（θ為參數）
（I） 將曲線C₁和曲線C₂化為普通方程，并判斷兩者之間的位置關系；
（II） 分別將曲線C₁和曲線C₂上的點的橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐標保持不變，得到新曲線

C

′ 1

和

C

′ 2

，

C

′ 1

與

C

′ 2

的交點個數和C₁與C₂的交點個數是否相同？給出理由．

Answer 1

分析：（I）由∵曲線C₁：

y=2t-3 5 x=t-2 5

（t為參數），知y=2x+

5

．由曲線C₂：

y=sinθ x=cosθ

（θ為參數），知x²+y²=1．由此知曲線C₁和曲線C₂相切．
（II）y=2x+

5

上的點的橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐標保持不變，得到

C

′ 1

：y=x+

5

．x²+y²=1上的點的橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐標保持不變，得到

C

′ 2

：

x2

4

+y2=1．由此能得到

C

′ 1

與

C

′ 2

的交點個數和C₁與C₂的交點個數相同．

解答：解：（I）∵曲線C₁：

y=2t-3 5 x=t-2 5

（t為參數），
∴y=2x+

5

．
∵曲線C₂：

y=sinθ x=cosθ

（θ為參數），
∴x²+y²=1．
∵圓心（0，0）到直線y=2x+

5

的距離d=

| 5 |

5

=1=圓半徑，
∴曲線C₁和曲線C₂相切．
（II）y=2x+

5

上的點的橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐標保持不變，
得到

C

′ 1

：y=x+

5

．
x²+y²=1上的點的橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐標保持不變，
得到

C

′ 2

：

x2

4

+y2=1．
由（Ⅰ）知曲線C₁和曲線C₂相切，故曲線C₁和曲線C₂有一個交點．
把

C

′ 1

：y=x+

5

代入

C

′ 2

：

x2

4

+y2=1，
并整理，得5x2+8

5

x+16=0，
∵△=(8

5

)2-4×5×16=0，
∴

C

′ 1

與

C

′ 2

的交點個數也是一個．
即

C

′ 1

與

C

′ 2

的交點個數和C₁與C₂的交點個數相同．

點評：本題考查直線和圓的參數方程的應用，考查函數的伸縮變換，考查點到直線的距離公式，考查直線和圓、直線和橢圓的位置關系．