Question

設函數f(x)=

a•2x-1

1+2x

是實數集R上的奇函數．
（1）求實數a的值；
（2）判斷f（x）在R上的單調性并加以證明；
（3）求函數f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）直接根據f（-x）=-f（x），整理即可得到結論．
（2）直接根據單調性的證明過程證明即可．
（3）先對原函數分離常數，再借助于指數函數的最值即可得到結論．（也可以采用反函數的思想）．

解答：解：（1）∵f（x）是R上的奇函數
∴f（-x）=-f（x），
即

a•2-x-1

1+2-x

=-

a•2x-1

1+2x

，即

a-2x

1+2x

=

1-a•2x

1+2x

即（a-1）（2^x+1）=0
∴a=1
（或者∵f（x）是R上的奇函數∴f（-0）=-f（0），∴f（0）=0．∴

a•20-1

1+20

=0．，解得a=1，然后經檢驗滿足要求．）
（2）由（1）得f(x)=

2x-1

2x+1

=1-

2

2x+1

設x₁＜x₂∈R，則f（x₁）-f（x₂）=（1-

2

2x1+1

）-（1-

2

2x2+1

）
=

2

2x2+1

-

2

2x1+1

=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

，
∵x₁＜x₂
∴2x1＜2x2
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
所以f（x）在R上是增函數
（3）f(x)=

2x-1

2x+1

=1-

2

2x+1

，
∵2^x+1＞1，∴0＜

1

2x+1

＜1，
∴0＜

2

2x+1

＜2，
∴-1＜1-

2

2x+1

＜1
所以f(x)=

2x-1

2x+1

=1-

2

2x+1

的值域為（-1，1）
或者可以設y=

2x-1

2x+1

，從中解出2^x=

1+y

1-y

，所以

1+y

1-y

＞0，所以值域為（-1，1）

點評：本小題主要考查函數單調性的應用、函數奇偶性的應用、指數函數的性質等基礎知識，考查運算求解能力與化歸與轉化思想．屬于中檔題．