Question

已知m＞1，直線l：x-my-=0，橢圓C：+y²=1，F₁、F₂分別為橢圓C的左、右焦點．
（I）當直線l過右焦點F₂時，求直線l的方程；
（II）當直線l與橢圓C相離、相交時，求m的取值范圍；
（III）設直線l與橢圓C交于A、B兩點，△AF₁F₂，△BF₁F₂的重心分別為G、H．若原點O在以線段GH為直徑的圓內，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）寫出右焦點F₂的坐標，代入直線l的方程，即可求得m值，從而得到l的方程，注意m范圍；
（II）直線與橢圓方程聯立消去x，得y的二次方程，由△＜0得相離時m的范圍，由△＞0得相交時m的范圍；
（III）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．根據（II）由判別式大于0求得m的范圍，且根據韋達定理表示出y₁+y₂和y₁y₂，根據，，可知G（，），H（，），表示出|GH|²，設M是GH的中點，則可表示出M的坐標，進而根據2|MO|＜|GH|整理可得x₁x₂+y₁y₂＜0把x₁x₂和y₁y₂的表達式代入求得m的范圍，最后綜合可得答案．
解答：解：（Ⅰ）解：因為直線l：x-my-=0，經過F₂（，0），
所以-=0，得m²=2，
又因為m＞1，所以m=，
故直線l的方程為x-y-1=0．
（II）由消去x得2y²+my+-1=0，
由△=m²-8（-1）=-m²+8＜0，得m＜-2，或m＞2，由△＞0得-2＜m＜2，
所以當直線與橢圓相離時m的取值范圍是m＜-2，或m＞2；當直線與橢圓相交時m的取值范圍是-2＜m＜2；
（III）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由（II）知，△=m²-8（-1）=-m²+8＞0，得m²＜8，且有y₁+y₂=-，y₁y₂=．
由于F₁（-c，0），F₂（c，0），故O為F₁F₂的中點，
由，，可知G（，），H（，）
|GH|²=+，
設M是GH的中點，則M（，），
由題意可知2|MO|＜|GH|，即4[]＜+，即x₁x₂+y₁y₂＜0，
而x₁x₂+y₁y₂=（my₁+）（my₂+）+y₁y₂=（m²+1）（-），
所以（-）＜0，即m²＜4，
又因為m＞1且△＞0，
所以1＜m＜2．
點評：本題主要考查橢圓的幾何性質，直線與橢圓，點與圓的位置關系等基礎知識，同時考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力．