Question

設函數x（x∈R），其中m＞0．
（1）當m=1時，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線的斜率；
（2）求函數f（x）的單調區間與極值；
（3）已知函數f（x）有三個互不相同的零點0，x₁，x₂，且x₁＜x₂，若對任意的x∈[x₁，x₂]，f（x）＞f（1）恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1），易得函數在所求點的斜率．
（2）當f′（x）≥0，函數單增，f′（x）≤0時單減，令f′（x）=0的點為極值點．
（3）由題意屬于區間[x₁，x₂]的點的函數值均大于f（1），由此計算m的范圍．
解答：解：（1）當，
故f'（1）=-1+2=1，所以曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線的斜率為1．（2分）

（2）f'（x）=-x²+2x+m²-1，令f'（x）=0，解得x=1-m或x=1+m．
∵m＞0，所以1+m＞1-m，當x變化時，f'（x），f（x）的變化情況如下表：

∴f（x）在（-∞，1-m），（1+m，+∞）內是減函數，在（1-m，1+m）內是增函數．
函數f（x）在x=1-m處取得極小值f（1-m），且f（1-m）=，
函數f（x）在x=1+m處取得極大值f（1+m），且f（1+m）=．（6分）

（3）由題設，，
∴方程有兩個相異的實根x₁，x₂，
故，∵m＞0
解得m，（8分）
∵x₁＜x₂，所以2x₂＞x₁+x₂=3，
故x₂＞．（10分）
∵對任意的x∈[x₁，x₂]，x-x₁≥0，x-x₂≤0，
則，又f（x₁）=0，所以f（x）在[x₁，x₂]上的最小值為0，
于是對任意的x∈[x₁，x₂]，f（x）＞f（1）恒成立的充要條件是f（1）=m²-＜0，
解得，
∵由上m，
綜上，m的取值范圍是（，）．（14分）
點評：本題較為復雜，主要考查了直線的點斜式，函數的單調性及函數的極值問題，注意掌握知識點間的關系．