Question

正四棱錐V-ABCD的五個頂點在同一個球面上，若其底面邊長為4，側棱長為2

6

，則AB兩點的球面距為（　　）

• A．

  1

  9

• B．3arccos

  1

  9

• C．arccos

  1

  3

• D．

  1

  3

Answer 1

分析：設球的半徑為R，利用正四棱錐的性質和球的性質，結合勾股定理列方程，求得球半徑，根據余弦定理和球面距離的公式，即可求得結論．

解答：解：設外接球球心為O，正方形ABCD中心為O₁，連接VO₁，則球心O在VO₁上，連接AC、OA、OB
∵正方形ABCD邊長為4，∴對角線AC=4

2

，O₁A=

1

2

AC=2

2

∵VO₁⊥平面ABCD，
∴Rt△VO₁A中，VO₁=4
設外接球半徑為R，則Rt△OO₁A中，OA=R，O₁O=4-R
∴R²=（4-R）²+（2

2

）²，解之得：R=3
∴△AOB中，cos∠AOB=

1

9

∴∠AOB=arccos

1

9

所以AB兩點的球面距為R×∠AOB=3arccos

1

9

故選B．

點評：本題考查球內接正四棱錐，考查球面距離，確定球的半徑是關鍵，屬于中檔題．