Question

已知數列{a_n}滿足，數列{b_n}滿足b_n=lna_n，數列{c_n}滿足c_n=a_n+b_n．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）試比較與的大小，并說明理由；
（3）我們知道數列{a_n}如果是等差數列，則公差是一個常數，顯然在本題的數列{c_n}中，不是一個常數，但是否會小于等于一個常數k呢？若會，求出k的取值范圍；若不會，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由，兩邊取倒數得，判斷出是等差數列，求出的通項公式后即可求出數列{a_n}的通項公式．
（2）由（1）得 ，，考慮到兩個和式不易化簡或作差比較，為此采用逐項大小比較的辦法．構造函數f（x）=lnx-x+1，求導研究出f（x）的單調性，
可得出，即b_i≤a_i-1，當且僅當i=1時取等號．從而，當且僅當n=1時取等號．
（3）由（1）知，易知{c_n}是一個遞減數列，取n=m+1，則=
所以k的取值范圍是[0，+∞）．
解答：解：（1）由
兩邊取倒數，得：，
∴是等差數列，首項，公差d=1；
∴，從而，
（2）由（1）得 ，，
構造函數f（x）=lnx-x+1，
則
當0＜x＜1時，f'（x）＞0，f（x）在（0，1）上單調遞增；
當x＞1時，f'（x）＜0，f（x）在（1，+∞）上單調遞減，
∴f（x）≤f（1）=0，
即?x＞0，lnx≤x-1，當且僅當x=1時取等號，
∴，即b_i≤a_i-1，當且僅當i=1時取等號，
∴，當且僅當n=1時取等號，
（3）由（1）知，顯然{c_n}是一個遞減數列，
∴對 n≠m，n∈N₊，m∈N₊恒成立．
取n=m+1，
則=
∴存在k滿足恒成立，k的取值范圍是[0，+∞）．
點評：本題是函數與導數、數列、不等式的綜合．考查構造（新數列，函數）、轉化、計算、推理論證能力．