Question

（2005•上海模擬）一個多面體的直觀圖，前視圖（正前方觀察），俯視圖（正上方觀察），側視圖（左側正前方觀察）如下所示．
（1）求AD與平面A₁BCC₁的位置關系并說明理由，求點A₁與點C的連線與平面ABCD所成角的大小；
（2）求此多面體的表面積和體積．

Answer 1

分析：由視圖可知，直觀圖為直三棱柱，高為a，底面為底邊與高均為a的等腰三角形．
 （1）由于AD∥BC，BC?平面A₁BCC₁，根據線面平行的判定可得AD∥平面A₁BCC₁，取AB的中點O，連接OA₁，CO，A₁C，則OA₁⊥平面ABCD，從而∠A₁CO為點A₁與點C的連線與平面ABCD所成角，故可求；
（2）根據直觀圖為直三棱柱，高為a，底面為底邊與高均為a的等腰三角形，可求表面積與體積

解答：解：由視圖可知，直觀圖為直三棱柱，高為a，底面為底邊與高均為a的等腰三角形．
 （1）由于AD∥BC，BC?平面A₁BCC₁，∴AD∥平面A₁BCC₁，
取AB的中點O，連接OA₁，CO，A₁C，則OA₁⊥平面ABCD，
∴∠A₁CO為點A₁與點C的連線與平面ABCD所成角
在直角三角形A₁CO中，A₁O=a，OC=

5

2

a
∴tan∠A₁CO=

2 5

5

∴∠A₁CO=arctan

2 5

5

；
（2）根據直觀圖的多面體的表面積為2×

1

2

×a2+2×

5

2

a2+a2=(2+

5

)a2
體積為

1

2

a2 ×a=

1

2

a3

點評：本題以視圖為載體，考查線面位置關系，考查線線角，考查多面體的表面積與體積，關鍵是得出直觀圖．