Question

如圖，已知四棱錐中，平面，底面是直角梯形，

且.

（1）求證：平面；

（2）求證：平面；

（3）若是的中點，求三棱錐的體積.

 

Answer 1

（1）證明過程詳見解析；（2）證明過程詳見解析；（3）.

【解析】

試題分析：本題主要以四棱錐為幾何背景，考查線面平行、線面垂直以及三棱錐的體積等基礎知識，考查學生的空間想象能力、邏輯推理能力、轉化能力、計算能力.第一問，利用ABCD為直角梯形，所以得到AB//CD，利用線面平行的判定，得AB//平面PCD；第二問，在三角形ABC中，先利用余弦定理求出AC邊長，再根據勾股定理判斷，而，利用線面垂直的判定，平面PAC；第三問，由于平面ADC，所以M到平面ADC的距離為PA的一半，將轉化為，作，在三角形ACB中，解出AE和CE的值，即AD和DC的值，即可得到直角三角形ADC的面積，從而利用三棱錐的體積公式計算體積.

試題解析：（1）底面是直角梯形，且,

， 1分

又平面 2分

平面 3分

∴∥平面 4分

（2）， ，

5分

則

∴ 6分

平面 ，平面

∴ 7分

又 8分

∴平面 9分

（3）在直角梯形中，過作于點，

則四邊形為矩形， 10分

在中可得

故 11分

∵是中點，

∴到面的距離是到面距離的一半 12分

∴ 14分

考點：線面平行、線面垂直以及三棱錐的體積.