Question

已知函數=，

（1）求函數的單調區間

（2）若關于的不等式對一切（其中）都成立，求實數的取值范圍；

（3）是否存在正實數，使？若不存在，說明理由；若存在，求取值的范圍

 

Answer 1

【答案】

（1）單調遞增區間是（），單調遞減區間是（2）時，；時，；時，（3）當時，，此時

【解析】

試題分析：（1）的定義域為，，令，得

	（）
	＋		＿
	增		減

所以的單調遞增區間是（），單調遞減區間是  3分

（２）∵不等式對一切（其中）都成立，

∴對一切（其中）都成立 即時，

∵

①當時，即時，在上單調遞增，＝＝

②時，在上單調遞減，＝＝

③，即時，在上單調遞增，上單調遞減，

＝＝

綜上，時，；時，；時， 9分

（３）存在  10分

即，

＝在上有兩個不同點的函數值相等

∵在（）單調遞增，在上單調遞減

當時，，時，，數形結合知

當時，，此時

考點：函數單調性最值及數形結合法

點評：求函數單調區間通常利用導數的正負解決，第二問中將不等式恒成立問題轉化為函數最值問題，這是常用的轉化思路，但要注意分情況討論得到不同的最值，第三問對于條件指數式將其轉化為對數式從而和已知函數發生聯系，這種轉化學生可能不易想到