Question

【題目】已知圓過(guò)點(diǎn)，且與圓 ()關(guān)于軸對(duì)稱．

(I)求圓的方程；

(II)若有相互垂直的兩條直線，都過(guò)點(diǎn)，且被圓所截得弦長(zhǎng)分別是，求的值.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)28.

【解析】試題分析：

(Ⅰ)由題意可設(shè)圓的方程為，結(jié)合圓過(guò)點(diǎn)計(jì)算可得圓的方程.

(Ⅱ)解法一：由題意結(jié)合幾何關(guān)系可知四邊形為矩形，結(jié)合勾股定理計(jì)算可得；

解法二：分類(lèi)討論：①當(dāng)一條直線斜率不存在，另一條斜率為0時(shí)， 28

②當(dāng)一條直線斜率存在，結(jié)合弦長(zhǎng)公式計(jì)算可得=28，即.

試題解析：

（I）由題意設(shè)圓的方程

由題意可知圓C的圓心為

則點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)為，∴圓的方程為

將點(diǎn)代入圓的方程得，∴圓的方程

（II）解法一：設(shè)被圓所截得弦得中點(diǎn)分別為,

根據(jù)圓的性質(zhì)得四邊形為矩形

所以 即 化簡(jiǎn)得

解法二：①當(dāng)一條直線斜率不存在，另一條斜率為0時(shí)， =28

②當(dāng)一條直線斜率存在，設(shè)為

將點(diǎn)到的距離的平方為，

同理點(diǎn)到的距離的平方為，

=28

由①②可得