Question

已知數列{a_n}，a₁=a，且an+1+2an=2n+1(n∈N*)．
（1）若a₁，a₂，a₃成等差數列，求實數a的值；
（2）數列{a_n}能為等比數列嗎？若能，試寫出它的充要條件并加以證明；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由a₁=a，a₂=-2a+4，a₃=4a等差數列，知2（-2a+4）=a+4a，由此能求出實數a的值．
（2）因為an+1+2an=2n+1(n∈N*)，所以

an+1

2n+1

+

an

2n

=1，故{

an

2n

-

1

2

}是以

a1

2

-

1

2

=

a

2

-

1

2

為首項，-1為公比的等比數列，由此能求出數列{a_n}能為等比數列的充要條件．

解答：解：（1）a₁=a，a₂=-2a+4，a₃=4a，
∵2a₂=a₁+a₃，
∴2（-2a+4）=a+4a，
得a=

8

9

，
故實數a的值為

8

9

．
（2）∵an+1+2an=2n+1(n∈N*)，
∴

an+1

2n+1

+

an

2n

=1，
∴

an+1

2n+1

-

1

2

=-(

an

2n

-

1

2

)，
故{

an

2n

-

1

2

}是以

a1

2

-

1

2

=

a

2

-

1

2

為首項，-1為公比的等比數列，
∴

an

2n

-

1

2

=(

a

2

-

1

2

)•(-1)n-1，
∴an=2n[

1

2

+(

a

2

-

1

2

)•(-1)n-1]，
∴

an+1

an

=

2n+1[ 1 2 +( a 2 - 1 2 )•(-1)n]

2n[ 1 2 +( a 2 - 1 2 )•(-1)n-1]

=2•

1 2 +( a 2 - 1 2 )•(-1)n

1 2 +( a 2 - 1 2 )•(-1)n-1

，
∴{a_n}為等比數列?

an+1

an

為常數，
∴當且僅當a=1時，

an+1

an

=2為常數．

點評：本題考查等差數列和等比數列的性質及其應用，具有一定的探索性，對數學思維的要求較高，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．