Question

數列{a_n}滿足4a₁=1，a_n-1=[（-1）ⁿa_n-1-2]a_n（n≥2），
（1）試判斷數列{

1

an

+（-1）ⁿ}是否為等比數列，并證明；
（2）設a_n²?b_n=1，求數列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（1）由a_n-1=[（-1）ⁿa_n-1-2]a_n（n≥2），兩邊取倒數，整理即可證明
（2）由（1）及已知a_n²?b_n=1可求b_n，結合數列的通項的特點，考慮利用分組求和，結合等比數列與等差數列的求和公式即可求解

解答：解：（1）數列{

1

an

+（-1）ⁿ}是等比數列，證明如下
由

1

an

=(-1)n-

2

an-1

[

1

an

+(-1)n]=-2[

1

an-1

-(-1)n-1]
即 

1 an +(-1)n

1 an-1 +(-1)n-1

=-2(n∈N*且n≥2)
∵a₁=

1

4

∴

1

a1

-1=3
另：

1 an +(-1)n

1 an-1 +(-1)n-1

=

(-1)nan-1-2 an-1 +(-1)n

1 an-1 +(-1)n

=

2(-1)nan-1-2

(-1)nan-1+1

=-2
∴{

1

an

+(-1)n}是首項為3公比為-2的等比數列
則

1

an

+(-1)n=3(-2)n-1∴

1

an

=3(-2)n-1+(-1)n-1
（2）由an2bn=1
∴bn=

1

an2

=9•4n-1+6•2n-1+1
∴Sn=(9•40+9•4+…+9•4n-1)+6（2⁰+2+2²+…+2^n-1）+（1+1+…+1）
∴Sn=

9(4n-1)

4-1

+

6(2n-1)

2-1

+n=3•4ⁿ+6•2ⁿ+n-9（n∈N^*）

點評：本題主要考查了利用數列的遞推公式構造等比數列，等比數列的通項公式及求和公式的應用．