Question

（2010•昆明模擬）已知函數f（x）=（x³+ax）e^x，x∈R．
（I）若a=0，求函數y=f（x）的單調區間；
（II）若f（x）在區間（0，1）上單調遞減，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用導數即可得出其單調區間；
（Ⅱ）利用導數可知f^′（x）≤0（x∈（0，1）），通過分離參數，再轉化為利用導數求一個函數的最值問題即可．

解答：解：（I）當a=0時，f（x）=x³e^x
∴f'（x）=3x²e^x+x³e^x=x²（3+x）e^x，
令f^′（x）=0，解得x=0，或-3．
①當x＞-3時，則f'（x）≥0，函數f（x）單調遞增；
②當x＜-3時，則f'（x）＜0，函數f（x）單調遞減．
∴函數f（x）=x³e^x在（-∞，-3）為減函數，在（-3，+∞）為增函數．
（II）∵f'（x）=（3x²+a）e^x+（x³+ax）e^x=（x³+3x²+ax+a）e^x
由已知得（x³+3x²+ax+a）e^x≤0在（0，1）上恒成立，
∴a≤-

x3+3x2

x+1

在（0，1）上恒成立．
令g(x)=-

x3+3x2

x+1

(x∈(0，1))．
則g′(x)=-

2x(x2+3x+3)

(x+1)2

=-

2x[(x+ 3 2 )2+ 3 4 ]

(x+1)2

．
∵x∈（0，1），∴g^′（x）＜0．
∴函數g（x）在區間（0，1）上是減函數．
∴a≤g（1）=-2．
故a≤-2．

點評：熟練掌握利用函數的導數研究函數的單調性及使用分離參數法求參數的取值范圍是解題的關鍵．