Question

11．設關于x的方程x²+（m-3）x+3-2m=0的兩個實數根為α、β，求：（α-2）²+（β-2）²的最小值．

Answer 1

分析 根據△≥0求出m的取值范圍，再由根與系數的關系求出函數u=（α-2）²+（β-2）²的最小值即可．

解答 解：∵α、β為方程的兩個實數根，
∴△=（m-3）²-4（3-2m）≥0，
解得m≤-3或m≥1；
設u=（α-2）²+（β-2）²=（α+β）²-4（α+β）-2αβ+8，
且α+β=3-m，αβ=3-2m，
∴u=（3-m）²-4（3-m）-2（3-2m）+8
=（m+1）²+4，
又∵m≤-3或m≥1，
∴當m=-3或1時，u取得最小值u_min=8．

點評 本題考查了一元二次方程根與系數的關系以及函數的最值問題，也考查了轉化思想的應用問題，是綜合性題目．